在解决这类问题时，要求同学们既会由平面图形想象出直观形体，又会准确地用图形表现空间形体；既会观察、分析各种几何要素(点、线、面、体)在折叠前后的相互关系，又会对图形进行交换和转化．近年的高考题中，几次在选择题或填空题中出现折叠问题，这标志着高考对空间想象能力要求的深化，应当引起大家的重视．

　　解决这类问题时首先要准确地画出原来的平面图形和折叠后的空间图形，对照平面图与立体图的对立元素的位置关系、大小、形状，确定哪些是不变量，哪些是变量，其中不变量是解题的基础．

　　在解题中要注意化归思想的训练——空间问题与平面问题的相互转化；要注意立体几何中线面关系的准确使用．总之，解决折叠一类问题，需要较为扎实的立体几何基础知识以及相应的数学思想方法和能力．

　　例1 如图1，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P(见图2)，则面PCD与面ECD所成的二面角为________度．

　　分析 本题中给出了两个图形，一个是折叠前的平面图形，一个是折叠后的俯视图，首先要求能够“看懂”这两个图，进而“想象”或者“画出”折叠后的直观图，再辨别和分析图中各线段之间的大小关系，以及各棱间的夹角的大小关系等．为便于观察和分析，我们将图2“转动”使它“立”起来，如图3．

　　观察图形，容易发现折叠前的两个直角∠A和∠B及相等的线段BC和AD，EC和ED在折叠后都没有发生变化，从而保证了∠CDE＝∠DPE＝90°，因此EP⊥平面PCD．折叠前的BC＝AD，变成折叠后的PC＝PD；EC＝ED没有变化，只需作出二面角的平面角即可求解．

　　解 取CD中点F，连EF，PF．

　　∵∠CPE＝∠B＝90°，∠DPE＝∠A＝90°，

　　即EP⊥PC，EP⊥PD．∴EP⊥平面PCD．

　　又∵PC＝PD，

　　∴DC⊥PF，同理DC⊥EF．

　　∴∠PFE为平面PCD与平面ECD所成二面角的平面角．

　　∴∠PFE＝30°．

　　即面PCD与面ECD所成的二面角为30°．

　　解题中抓住了折叠前后的两个不变量——两对直角和两段相等的线段；而位于折痕同一侧的角或线段是不变量，这是发现不变量的依据．

　　例2 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D—ABC的体积为

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　　分析 本题中没有给出图形，要求同学们通过“读题”去“想图”和“画图”．因此解题的关键是正确地画出折叠后的直观图．一般情况下，只要画出草图就可以了，但本题仅画出草图还不够，还必须根据题设条件BD＝a作进一步调整．这一系列作法是空间想象力的体现．

　　先作图如下(见图4、图5)：

　　反复观察、对照平面图和立体图，不难发现，在折叠前的线段DO和BO折叠后
的线段BD虽被折成二段，但与AC的垂直关系没变，即DO⊥AC，所以DO⊥面

　　应该看到“想图”、“看图”、“分析图”和“利用图”的过程不是一次完成的，须要边画、边判断、边调整，最终才能实现解题的目的．

　　例3 矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使A点在平面BCD上的射影E落在BC上．

　　(1)求AC的长；

　　(2)求A点到平面BCD的距离．

　　分析 这里只给出了折叠的结果而没给出折叠的过程，只能从这个结果分析，由于AE⊥平面BCD于E，则过E作EF⊥BC交BD于F，把这个事实在平面图形上画出，即为图6中的线段AFE，这将有助于进一步分析和计算．

　　解 (1)∵E为A在平面BCD上的射影，且E∈BC．

　　∴AE⊥平面BCD．

　　∵CD⊥BC，∴CD⊥AC．

　　在Rt△ACD中，AC²＝AD²－DC²＝7，

　　(2)如图7中，在平面BCD内作EF⊥BD，连AF，则AF⊥BD．

　　在图6中，A、F、E三点共线．∵AB＝3，CD＝4，

　　又∵在图6中，∠BAE＝∠ADB，

　　从本例中可以进一步看出，折叠问题实质上是由平面到空间，再由空间到平面的一种转化．比如∠BAE与∠ADB的相等，在空间图形中不易发现，而若观察平面图形则很容易得出．所以在解此类问题当思路受阻时，不妨认真找找平面图形中那些特殊而又不变的量在折叠后到哪儿去了．

　　此外，本题的解题过程中，反复对照，比较平面图和立体图；不仅仅是由平面到空间，由折叠前到折叠后，很多情况下，尤其是思路不通畅时，经常由空间回到平面，以平面中相应的关系解决空间的问题．

　　分析 这是一道最值问题，折痕EF的位置是待定的，基本思路是引进变量，构造函数关系式，借助函数最值确定EF的位置．其中翻折前后的不变量是线段AN的长度和AN与EF的垂直关系．

　　解 设M为BC中点，AM∩EF＝N，

　　∵△ABC为正三角形，EF∥BC，

　　∴AM⊥BC，AN⊥EF，N为EF中点．

　　又BC⊥MN，

　　通过本题可以看到，为了使折叠前后的图形对比起来更清晰，有时将平面图与立体图画在一个图形中．