课标高中数学教材有关内容的深入研究

为了帮助教师深入钻研教材，本文就普通高中涉及的集合、函数、向量、三角等知识作进一步的分析和引伸以便教师在更高的知识层面上把握这几时部分的有关内容。

一、集合代数

1.集合的概念

集合的创始人康托曾这样来描述集合，“把一些确定的，彼此有区别的，具体的或想像的东西看作一个整体，便叫做集合。”这个描述，康托自认为是给集合下了一个定义，其实不然。因为诸如整体、总体、总合、集合等等概念都是等价概念。康托使用集合的等价概念（整体）来给集合下定义，因此这是一个同义的反复，不能算是合乎逻辑的非重言式的定义。一些逻辑学家想用更原始、更基本的概念给集合下定义，迄今没有实现。近代公理集合论者，都放弃了对集合下定义的想法，把集合作为原始的不定义概念。集合理论已是现代数学的基石.

（1）集合的描述方法

描述集合有两种方法：列举法和特征性质描述法。其中最重要的是特征性质描述法，下面我们对这种描述方法作一简要的分析。

如果在我们研究的一个确定的论域（全集）U内，某个性质p为一个集合A的所有元素所共有，而集合A外的其他元素又都没有这个性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的特征性质，并且把A描述为

A={x∈U|x具有性质p(x)}={x∈U|p(x)}.

其中“|”左边的x表示U中的一个元素，而“|”右边的p(x)表示元素x具有性质p，“{}”表示把U中所有具有性质p的元素构成的一个集合。因此上述特征性质描述法的意义就是：

对U中的所有x，x∈A?x具有性质p。

在论域明确的情况下，论域U常常省略不写。

由集合的特征性质的定义可知，集合的“特征性质”也就是该集合所确定某个概念的内涵，而集合本身也就是概念的外延。例如所有平行四边形所构成的集合，它的一个定义是：“两组对边分别平行的四边形”。因此平行四边形全体构成的集合可用特征性质描述法描述为

{x∈U|x的两组对边平行且相等}，（U={四边形}）

平行四边形这个概念的内含就是该集合的特征性质，这个概念的外延就是所有平行四边形所构成的集合。

显然一个集合的特征性质不是唯一的。例如上述集合的特征性质，还可分别是“一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”、“对边相等”等。这些性质都是平行四边形的特征性质，都可用来描述平行四边形全体构成的集合。

特征性质描述法的重要性在于它把集合与逻辑联系起来。这样我们就可用集合的关系理解推理关系。用外延理解内含是康托集合论的重大贡献.这是我们编写集合与数理逻辑用语这二章的主要指导思想。

（2）子集和相等

子集和相等是集合论中两个最基础、最重要的概念。从集合概念与子集概念出发，借用一些专门的符号可以定义其它数学概念。公理化数学是抽象难懂的，显然中学生不能全用公理化方法学习数学，但实践也证明，在中学阶段学习与使用集合的基础语言是可行的。并且对学生学好数学很有帮助。

我们知道，当且仅当集合A的元素都有是集合B的元素时，A叫做B的子集。A是B的子集可能A是B的真子集，也可能A与B相等。这就是说任意集合都是它自身的子集。

一个集合被它所包含的元素所完全确定。因此对于两个集合，当且仅当它们的元素完全相同时，它们才是相等的。这就是就是说，

A=B?(x∈A?x?B).

在一些集合著作中，也把相等的定义叫做“开拓公理”或“外延原则”。相等概念在集合代数中非常重要，“相等”这个概念，与数学中的相等基本上是一致的，即相等表示同一事物的两个不同名称（例如Ⅱ=2）.A=B表示A和B是同一集合，只是用不同的方法表示而已。我们知道一个集合可以用不同的特征性质来表述，这些不同的特征性质描述的都是同一集合或相等的集合。集合相等的概念学生不难理解，但是要求学生证明两个集合相等是困难的。

对高中学生一般不应要求证明两个集合相等,但一定要求他们理解子集与两个集合相等的概念，这对理解数学中许多其他概念会有帮助。例如，在几何的轨迹问题中，研究所谓纯粹性与完备性时，就可不使用这些不太容易理解的语言叙述。我们可用集合相等的概念来描述轨迹问题，例如，集合

这是两个相等的集合，我们证明到原点距离等于2的点轨迹方程是。事实上就是证明

（3）幂集

在有关子集的练习中，常常要求一个集合所有子集的个数，这涉及到幂集的概念。在很多数学问题中，要对某个集合A进行分析，一个重要的方法是，先把A分解为一些较为简单的子集，通过研究这些子集来分析A的性质。由集合A的所有子集构成的集合叫做A的幂集。

设A有n个元素，则A的幂集元至少的个数为

这个一般结论在学习排列、组合二项式定时再让学生证明。在做这类练习时，主要引导学生学习一些计数法则。在计算集合{1，2，3}的所有子集的个数时，可先算出不取任何元素构成集合的个数（空集），取一个元素构成集合的个数，取两个、三个构成集合的个数等，然后加起来就是所有子集的个数。

有一些智力题，应用幂集知识可得到解答。例如：

一具船夫运一只狼、一只羊和一颗白菜过河，但除他之外，只能带一样东西过河，但在河两岸狼不能和山羊单独在一起，山羊不能和菜在单独在一起，问船夫应什么程序带它们过河？

考察集合{人，狼，羊，菜}以及它的所有子集：

{人，狼，羊，菜}、?、{人}*、{狼}、{羊}、{菜}、{人，狼}*、{人，羊}、{人，菜}*、{狼，羊}*、{狼，菜}、{羊，菜}*、{人、狼、羊}、（人，狼，菜）、{人，羊，菜}、{狼，羊，菜}*，

除掉河两岸不可能存在的状态（带*号）的子集合，我们可在剩下的子集中考虑渡河方案。例如，处在初始状态的河岸的变化程序是（方案不是唯一的）：

{人，狼，羊，菜}→{狼，菜}→（人，狼，菜）→{菜}→{人，羊，菜}→{羊}→{人，羊}→?。

这个例子表明，我们可使用子集概念，帮助思考一些复杂问题。

（4）全集和论域

全集又常常称做论域。研究任何问题都有要规定一个范围,不然我们就不能讨论这个问题是否成立。例如，,在实数域中是假命题，而在非负实数集中，则是真命题。在小学和初中研究问题时，常常在一段很长的时间内都有在同一论域中讨论问题，为了方便往往省去了论域的说明。在学习有理数时就省去了“在有理数范围”的说明，在平面几何中就省去了“同一平面”的说明等。这样就使很多进入高中的学生在研究问题时，忘记了讨论论域，使解题时常犯错误。在高中开始阶段，要随时提醒同学，要想到研究问题的论域。

（5）集合运算及重要算律

在教材中仅仅学习集合运算的概念，对运算律，只是在例习题中让学生自已证明一些。但在集合代数中，最重要的还是集合运算满促的运算律。教师应该理解并掌握它们。这里我们列出集合交、并、补运算所满促的重要算律如下：

①封闭律AB是全集U中的一个子集。

AB是U中唯一确定的子集

是U中唯一确定的子集

②交换律AB=BA，AB=BA。

③结合律（AB）C=A（BC）

（AB）C=A（BC）。

④分配律A（BC）=（AB）（AC）

A（BC）=（AB）（AC）

⑤幂等律AA=A，AA=A。

⑥互余律A=U，A=?。

⑦德摩根定律

⑧吸收律A（AB）=A，A（AB）=A。

应用集合运算与相等的定义，不难证明上述算律成立。

2．命题代数(相关内容按排在新课程的系列1-1和2-1)

（1）命题与联结词

在命题代数中一共有五个联结词：且、或、非、如果—那么、等价。其中且、或、非三个是最基本的，其他两个可用这三个的组合来表示。在教材中用真值表定义了4个联结词，把等价与充要条件当作同意词介绍。且、或、非在教学中已感到没有多大困难。但对“如果…则”作为联结词使用争议较大，下面我们对“如果…则”这个联结词作一些分析。

“如果…则”作为联结词使用具有更宽的涵义。只要不是p真q假，则p?q都是真命题。这就是，只是在p真q假时，才是假命题。另外用“如果…则”联结构成命题的真假也不管p、q之间有无联系，仅根据p、q的真假来判断p?q的真假。例如“如果雪是白色的，则猪有四条腿”这种毫无意义的命题，在逻辑代数中也被看成一个真命题。教材中出现了一些用“如果…则”联结的一些毫无意义的命题，只是为了加强对“如果…则”真值表的练习。

在“如果…则”的真值表中，前两种情况大家比较容易理解，真的蕴含真的应该是真命题，真的蕴含假的应该是假命题。但对假的蕴含假的，假的蕴含真的就不太理解。其实在日常生活中，为了表达某种感情，常常采用虚假的前提，例如，“如果我说假话，我就不是人。”这种假的蕴含假的应该是真命题，至于假的蕴含真的，在数理逻辑中只是一种约定，自然前提是假的，至于结论是真是假已无多大意义，为了方便逻辑运算，我们约定这样的命题为真。下面举一个例子，说明这种约定还有一定的合理性，

爸爸答应儿子：“如果期终考试数学得100分，则给儿子买一台电脑”。期终考试完，儿子检验爸爸说的话是真是假，只有“儿子得了100分，爸爸没有实电脑”才能说爸爸说的话不算数。“儿子没得100分，爸爸给买了电脑”，儿子当然不会认为爸爸说了假话。

我们已把“如果…则”定义为一种抽象的逻辑运算，我们可把“如果…则”运用到数学以及其他学科中去。但在实际上也不要随意用这个运算。如“如果3大于2，那么地球绕太阳运动”这句话尽管在逻辑上没错，但并无意义。实际上我们学过的任一种运算在现实生活中不能乱用。大家对运算，总认为它是对的。但如果用在计算(人)+（人）=1（人）就不实际了。这里我们定义的数理逻辑运算也是同样的道理。

等价、当且仅当、充要条件等作为联结词使用，也都具有同一意义。如果p与q同真同假，则p?q是真命题，如果p与q一真一假，则p?q是假命题。

命题p?q可用或、非来表达，老考察p?q与的真值表，可以看出它们的真假值相同，所以p?q与等价。在逻辑代数中，可用代替p?q参加命题演算。

（2）开句与量词

在数学中，我们碰到的大多都是含有变量的表达式，例如，>0，等，这种表达式不是命题，一般称做开句（或条件命题）。当开句中的的变量代以具体对象就可变为可判断真假的命脉题。例如，在开句中，当x=1时是真命题，当x=3时是假命题。

在开句中，如果指出变量的取值范围或满中的附加条件，常常开句也就变成命题。例如，

对所有的实数x,都有-----------------(1)

存在一个实数x,使得-----------------(2)

容易判断（1）是真命题，（2）是假命题。

“对所有的”、“存在一个”都叫做量词。“对所有的”叫做全称量词，“存在一个”叫做存在量词。它们分别记作"、$。

“对所有的”的等价说法有“对任意一个”、“对每一个”等，“存在一个”的等价说法有“对某一个”、“至少一个”等。

上述量词在数学中经常用到，高中阶段的学生都应理解它们的含义。

如果我们要证明（1）是真命题，要考察（或证明）所有的实数值x，都满足x²≥0如果要证明（1）是假命题，只要找到一个实数x，使不等式x²≥0不成立就可以了。

如果我们要证明（2）是真命题，只要找到一个x，使即可，如果要证明（2）是假命题，就要考察（或证明）所有的实数x,使都不成立。

设是集合S的一个元素所具有的性质，使用上述量词符号，对集合

S中的存在一个元素x具有性质p（x），可记作

容易得到，含有量词命题的否定的一般规律：

。

开句“”，其中x我们称变元（或个体），“”就表示个体x具有性质“”。个体具有“性质p(x)”,这种语句又叫做谓词（应注意这里的谓词不是语法中的主谓结构，而是一种表达变量关系的语句，）。谓词有一元、二元、乃至多元，通常说的谓词，一般指的是一元的。多元谓词也就是通常所说的多元关系。这样我们就把每个语句写成下面的结构：

个体x具有性质R表示为Rx

个体x、y具有关系R表示为Rxy（或xRy）

个体x、y、z具有关系R表示为Rxyz等等。

一元谓词可看作一元命题函数。它的定义域是某些可以独立存在的对象（个体或变元），值域是命题构成的集合。例如，

x∈4,5,6}，x>3,,则

开句用命题代数的五个联结词联结，可构成新的句子，这个句子一般仍为开句，它的真假一般要给出变量具体值才能确定。逻辑联结词联结开句与联结命题的意义相同。例如，

如果

这个开句的真假由x的具体值而定。我们道，这个开句，表达了一个正确的推理。由具体的x值代入这个开句验证（如x=4,3,1），我们也可看到“如果…则”的真值表是合理的。

我们知道逻辑主要是研究推理的，也就是说研究语句之间的关系，着重于推理过程是否正确。而不是研究一些个别特定的语句是否正确。

（3）命题代数的重要算律

在集合代数的重要算律中，把集合A、B、C换成命题p、q、r，交、并、补换成且、或、非把全集U换换成永真命题（用不1表示），把空集?换成永假命题（用0表示），就可得到命题代数相应的算律。例如，分别表示排中律和矛盾律。

（4）逻辑推理

逻辑推理的一条基本规律是“推出”的传递性：、

如果p推出q且q推出r，则p推出r。即

这是个永真命题，列出它的真值表可以得到验证。

推理的另一条规律是分离原则：如果是真命题，且p也是真命题，则q也是真命题，即。习惯上分离规则常用下列记号写出：

∴q

分离规则可由“如果…则”的真值表推出来。在“如果…则”的真值表中，由于假定p?q与p同真，所以只有第一行对，在这一行中q为真。这就是要证明的事实。这条规则在古典逻辑中称为假言推理。

上述分离规则用于推理，就通常所说的三段论法。

3 函数

（1）函数的定义

函数的概念几乎渗透数学和科学的各个方面，函数是数学和科学的通用语言之一。函数概念，在数学发展的不同阶段，有着不同的涵义。在数学发展史中，大致有以下三种不同的观点：（1）变量的观点，（2）映射的观点，（3）序对的观点。为了帮助大家了解函数概念的发展，我们对上述三种观点作一简要的介绍。

（1）变量的观点

早在1975年，欧拉就给函数作了如下的定义：

如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着而变化，那么前面的变量称为后面变量的函数。

由上述定义逐渐演变为下面的定义：

设x与y是两个变量，如果变量x在实数的某一范围变化时，变量y按照一定的规律随x的变化而变化，我们称x为自变量，y为因变量，变量y称做变量x的函数，记作y=f(x)。由于世界万物都在运动变化，并且相互依赖，显然这种定义生动形象地反应了自然界量的变化关系。

由于数学受公理化方法的支配，一个数学概念的定义要符合逻辑要求，在上述定义中使用了“变量”、“变化规律”等没有确切定义的自然语言，不符合概念下定义的要求。另外，函数刻划的实质是“对应法则”，在上述定义中也没有得到充分的反应。随着数学研究范围的扩大和进一步的抽象，数学家要给函数更加精确的定义。

（2）映射的观点

映射的概念来源于几何与拓朴学的研究。现在函数、映射、变换已是等价的概念。近代数学的研究把函数、映射、变换等相类似的概念统一起来，进一步抽象出函数的定义：

已知两个集合A、B，如果按照某一确定的对应关系，对于集合A中每一个确定的元素x，总有集合B中唯一一个确定的元素y与之对应，那么这个对应关系叫做映射或函数。

在上述定义中，使用了集合语言，并且把函数不再看作因变量，而把函数主要看作一种对应法则，另外函数的定义域也不只局限于数集，它可以是任意集合。这样定义函数更深刻地反映了函数的本质“对应关系”，又使函数的应用范围扩大了，使函数概念适合用于各种不同的研究对象。但这个定义仍有缺点，。在这个定义中，虽然重点放在“对应法则”上，但法则是什么?就很难说清楚。例如y=x与y=x+x-x，如果它们的定义域相同，那么它们是不是相同的函数，利用上述定义就很难作出判断。

（3）“序对”的观点

我们假设有序对是大家所熟知的概念。有序对（a,b）可用集合概念精确地定义为

（a,b）={{a},{a,b}}.

应用有序对概念，我们把函数定义如下：

如果f是有序对(a,b)的集合，并且当(a,b)，(a,c)都属于f时，有b=c，则集合f叫做一个函数。第一个坐标a的取值范围叫做f的定义域，对于定义域内的每一个a都有唯一的b与之对应，使(a,b)∈f，b叫做f在a处的值，用f(a)表示。

根据上述定义，函数概念完全明确化了，它无非是一张表或一张图。借此，可按x的值查出对应的唯一的y值。

1．与函数概念有关的一些概念

（1）函数定义域的延拓或限制

在函数的定义域中，函数的定义域中是不可缺少的。例如，函数,与R,尽管它们在区间[0，2]上是相同的，但它们是不同的函数，碰到这种情况，我们把函数f称为函数g的限定，或称g为f的延拓。当然，同一函数f可以由各种不同的函数经过限定产生出来。

我们知道，f(x)=kx(k≠0,x∈R),才是正比例函数，而g(x)=kx(k≠0,x∈[0,1]),严格说来就不是正比例函数。由”函数限制”的概念，可知g是f的限制。对函数g还常说，g在区间[0，1]上是正比例函数，或函数g是正比例型函数。类似的，还有指数型、对数型、正弦型函数。它们都是相应函数的限制或延拓。

（2）初等函数的组合

设则叫做f与g的和或差。

新函数的定义域是由f(x)和g(x)都有意义的x的全体构成的集合，即的定义域是。

分别叫做f与g的乘积或商。（）的定义域是、的定域是。

容易证明，函数的加法、乘法满足结合律、交换律。即

复合函数的定义

叫做f与g的复合函数（读作f圈g）。的定义域为{x|x∈B,且g(x)∈A}。

复合函数满足结合律，但不满足交换律。即

在中学教科书中，虽没有引出函数运算，但函数组合处处可见。学生一般从数的运算以及函数的定义本身去理解函数的组合。教师应正确掌握函数的运算概念。

（3）研究函数的初等方法

我们知道研究函数的得力工具是微积分，微积分也是在研究函数性质的基础上发展起来的。现在高中阶段微积分高二才学，高一主要用初等方法研究几何的性质。研究函数的性质的初等工具度有不等式、代数运算、图表和图象。

用初等方法研究函数的性质，主要有：增、减性，奇、偶性（对称），周期性和极值。高中数学，除研究这些性质外，还应对函数的变化率作适当的考察。函数的变化率可通过对图表、图象与“差商”来分析研究。如函数,除研究它的增、减性，对称，极值外，，还可研究该函数在区间[0，1]和[1，∞)的变化情况。学生从图表、图象或计算差商很容易得到函数在[0，1]上增加的缓慢，在[1，∞)上增加迅速的直观结论。还可举实用图象的例子让同学分析，例如研究二极管的伏安特性曲线等。

二引入向量改革几何教学

高中几何的主要构想是,在平面几何的基础上,把平面图形的基本性质转化为向量的运算和算律.建立直线和平面的向量结构(共线向量定理和平面向量的分解定理)，平面坐标几何的基本公式.在此基础上使用向量工具学习传统的三角学、解析几何和立体图形的性质.下面我们从几何学的发展、空间的向量结构和可行性等几方面，探讨一下几何教学改革的必要性。

1.几何学发展的历史过程

(1)实验几何

欧氏推理几何诞生之前,在人类长达几千年的生活动中,积累了大量的几何学知识.可以说,许多空间图形的基本性质,人们都已发现,并用于生产与生活的实践中.例如,长度,面积的计算,勾股定理等.

(2)欧氏推理几何

由于古代逻辑学的推动,几何学家开始用逻辑知识,整理已经发现的几何学知识,探究这些知识之间的逻辑关系.结果发现这些知识可从一些基本图形性质推出..这个时期长达2000多年,人们通过形到形的逻辑推理,发现了图形的大量性质,大大丰富了几何的内容.直至19世纪,数学家希尔伯特才在近代数学发展的基础上,把欧氏推理几何公理体系搞完整.

(3)三角学

由于测量和航海的发展和推动,在欧氏扒理几何的基础上,三角学得到了很快的发展.正弦定理和余弦定理的发现.使三角测量学发展到达了顶峰.这时人们,可以利用地球轨道的椭圆长轴作最长的基线,测理遥远星球到地球的距离

(4)解析几何

建立坐标系,用方程表示曲线,开创了用代数方法研究几何.使几何学的研究走向了代数化之路.坐标几何使代数,几何联系起来,改变了数学的面貌.促进了数学的发展.几何图形的性质可用代数表示,反之代数语言可找到几何直观解释,并给代数研究以启示.几何研究的代数化,是几何研究的根本出路.

引入向量,建立空间的向量结构为解析几何奠定了理论基础,为使用代数方法研究几何找到了更强有力的工具.

2.空间的向量体系

向量概念来自物理,向量具有一套优良的运算通性,这样空间性质的研究可进一步的代数化.下面我们介绍,如何把空间图形的重要性质转化为向量及其运算.

(1)全等与平行的性质转化为向量概念及其向量的加法运算律:交换律结合律

空间最基本的几何量是一点相对另一点的位置,在物理学中就是一点相对另一点的位移,它具有大小和方向两个最基本的要素.这类只有大小和方向的量,叫做向量.例如,点B相对于点A的位置,就是向量a,用有向段线表示.且

=的充要个件是ACBD构成平行四边形或共线

一点由A位移到B,又由B位移到C,A到C的位移称为两次位移的合成.

设=a,=b,构造a+b=+.

一点先位移向量a,接着位移向量b和一点先位移向量b,接着位移向量a应到达同一位置.由此可从直观经验得到

a+b=b+a

从加法作图法则,作+=a+b=.如果作=b,则四边形ABCD的一组对边AD和BC平行且相等,于是ABCD是平行四边形,由此得==a,b+a=,a+b这样,我们利用了平行四边形的性质证明了加法交换律.反之,如果交换律成立,我们也可证明,如果四边形的一组对边平行且相等,则另一组对边也平行且相等,即四边形是平行四边形.于是平行四边形的特征性质与向量加法交换律存在着深刻的内在联系,它们是等价的.

(2)图形的放大和缩小和相似特征性质转化为向量的倍积运算和数乘向量的分配律.

给定实数λ和向量a,则λ,a→λa.

我们可以证明相似三角形特征性质与向量倍积分配律等价.即,我们可由相似三角形的性质证明分配律,反之我们也可由分配律证明相似三角形特征性质.

在教学中,我们可对λ为具体整数和分数时进行证明.例如

3(a+b)=(a+b)+(a+b)+(a+b)=(a+a+a)+(b+b+b)=3a+3b

假定λ为整数时,分配律成立.

(3)向量的内积

一个向量a在轴上l的投影计算，转化为一个向量和一个单位向量的内积运算。

al=|a|cosθ转化为a与轴l上单位向量e的内积a·e.

a·e=|a|cosθ

并且这个运算满足分配律：

求向量的正投影转化为向量与单位向量的内积运算后，可以证明两个向量和在轴上的投影量等于各个向量投影分量的和。这个几何性质就转化为向量内积运算分配律。

如果对向量在轴上投影的数量在进行拉长，即乘上另一向量的绝对值，就转化为任意两个向量的内积运算（在物理中，就是物体在力的作用下沿着指定方向运动所作的功），即

a·b=|a|（|b|cosθ）

a·a=|a|².

容易证明向量的内积满足交换律、结全律和分配律。空间的长度、夹角和垂直间是问题都可使用向量的内积运算加以解决。

(4)向量的外积.

一个向量a在与轴l垂直方向上的投影变换转换为这个向量与轴上单位向量e的外积运算,记作a∧e.

对任意两个向量a、b定义为

a∧b=|a||b|sinθ(θ为有向角).

同样由射影的性质,可推知两个向量的外积也满足分配律

(a+b)∧e=a∧e+b∧e

(a+b)∧c=a∧c+b∧c

在空间,我们可指派一个向量,使它的绝对值为|a||b|sinθ,它的方向与向量a、b成右手系。这个向量就是我们学过的向量积。

引进向量代数后，我们可看到空间、平面和直线的向量结构都是非常简单的。

1.直线的向量结构

如果向量所在直线互相平行，则称这些向量共线可线性相关。两个非零向量共线的充要个件是其中一个向量等于另一向量的倍积.由此我们可得到直线的向量结构:

取直线上任一个非零向量,这个直线上的所有向量都是这个向量的倍积.这就是说，由直线上的一个向量可以生成这个直线上的所有向量。

数轴上任一点的位置,都被这一点相对于原点的位置向量所确定.

2.平面向量的结构:

平行于同一平面的向量称为共面向量（或线性相关）.

在空间取两个非共线向量,空间一个向量与这两个非共线向量共面的充要个件是,这个向量可分解为它们的线性组合.这就是说，由平面内两个非零向量可以生成平面内的所有向量。

在任一平面内，给定一点和两个非零向量，平面内任一点相对于这一点的位置向量，都可被这两个向量的线组合所惟一确定。

3．空间向量的结构：

在空间存在三个不共面的向量（线性无关）。

在空间取三个不共面的向量，则空间任一个向量都可是这三个向量的线性组合。这就是说空间任四个向量都是线性相关的。空间任三个线性无关的向量，可生成全体空间向量。

给定空间一点和三个线性无关的向量，空间任一点的位置向量都可被这三个线性无关的向量所惟一确定。

由以上分析,我们已把空间图形的性质转化为向量的运算和运算律.这套运算系统与算术、代数运算系统基本相似.同学就可灵活运用向量运算及其算律进行推理,学习空间图形的性质.整个向量运算体系,可总结如下:

设V是向量的集合

定义a,b→a+b(加法),k,a→ka(数乘向量)

a,b→a?b=|a||b|cosθ,a,b→a∧b=|a||b|sinθ

对任意a,b,c∈V

a+(b+c)=(a+b)+c

a+b=b+a,0+a=a

对任意a,存在-a使a+(-a)=0

1a=a,k,l∈R,(k+l)a=ka+la,(kl)a=k(la)

k∈R,k(a+b)=ka+kb

a·b=b·a

k(a·b)=(ka)·b

a·(b+c)=a·b+a·c

a∧b=－（b∧a),k(a∧b)=ka∧b

a∧(b+c)=a∧b+a∧c

过去学习几何主要使用从一个图形的性质推出图形的另一性质(简称形到形的推理),这种推理方法,一般没有规律可寻,比较难学.而且与代数学的学习没有多少联系.向量的引入,可使学生提早运用方便有效的代数工具研究几何,丰定富学生的思维结构,并为今后的学习数学作好准备.

三　三角函数

1．旋转与角

角是最基本的几何图形之一。在逻辑上给角下一个严格的定义比较困难，常常根据角的应用范围直观描述角的特征性质。例如，在学习平面几何时，把角的定义为：由一点引出的两条射线所构成的图形或定义为两个半平面的交集。这种定义适用于学习平面几何，在三角学中再使用这种定义就很难研究三角问题了。我们知道在三角学中把角定义为，平面内一条射线绕端点的旋转。这样角的大小可推广到任意实数，可用来表示旋转量的大小和两条射线表示的方向差。这种角的定义，不仅适用于于研究旋转运动，而且适用于任意角的度量。

学生要熟练地掌握旋转角的概念。在初中学生只计算角的绝对量，为了克服学生的传统习惯，要加强旋转角的练习。旋转量的大小也与旋转角始边的位置无关.首先要求学生会画30°、50°、150°，-30°、-50°、-150°、390°、-390°等旋转角。通过画图强化学生对旋转角的理解。接着再把角的加法与连续旋转的合成联系起来.认真的说明90°-30°=90°+（-30°），30°-30°=30°+（-30°）这些等式所表达的几何意义。

由旋转角的定义，角的大小与角的顶点和角的始边的位置无关,所以在进行角的加法练习时，第一加数表示加数的始边的位置可任意选择。

2．三角函数的定义

在直角坐标系Oxy中，设单位向量