选修2-1

　　在本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量（简称空间向量）与立体几何。

　　正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，从而更好地进行交流。

　　在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。

　　用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。

　　内容与要求

　　1．常用逻辑用语（约8课时）

　　（1）命题及其关系

　　① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

　　② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

　　（2）简单的逻辑联结词

　　通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。

　　（3）全称量词与存在量词

　　① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。

　　② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

　　2．圆锥曲线与方程（约16课时)

　　（1）圆锥曲线

　　① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

　　② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

　　③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

　　④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。

　　⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。

　　（2）曲线与方程

　　结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。

　　3．空间向量与立体几何(约12课时)

　　（1）空间向量及其运算

　　① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

　　② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

　　③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

　　④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

　　（2）空间向量的应用

　　① 理解直线的方向向量与平面的法向量。

　　② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

　　③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。

　　④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

　　说明与建议

　　1．在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题。

　　（1）这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。

　　（2）对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，帮助学生正确地表述相关的数学内容。

　　（3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。

　　（4）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。

　　2．在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。

　　教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线（参见选修1-1案例中的例1）。

　　3．教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。

　　4．曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。

　　5．空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。

　　6．在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。

　　参考案例

　　例1 已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，︱BC︱=1，︱AA₁︱=，M是棱CC1的中点，证明：AB₁⊥A₁M。

　　例2 已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直，以AD为公共边，但它们不在同一平面上。点M，N分别在对角线BD，AE上，且。证明：MN∥平面CDE。

　　例3 已知单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F 分别是棱B₁C₁和C₁D₁的中点。试求：

　　① AD₁与所成的角；

　　② AF与平面BEB₁所成的角；

　　③ 二面角C₁-DB-B₁的大小。

　　选修2-2

　　在本模块中，学生将学习导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。

　　微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

　　“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

　　数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会数系扩充中人类理性思维的作用。

　　内容与要求

　　1．导数及其应用（约24课时）

　　（1）导数概念及其几何意义

　　① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修1-1案例中的例2、例3）。

　　②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。

　　（2）导数的运算

　　① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x²，y=x³,y=1/x, y=的导数。

　　② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数。

　　③ 会使用导数公式表。

　　（3）导数在研究函数中的应用

　　① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见选修1-1案例中的例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

　　② 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

　　（4）生活中的优化问题举例。

　　例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（参见选修1-1案例中的例5）

　　（5）定积分与微积分基本定理

　　① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。

　　② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。（参见例1）

　　（6）数学文化

　　收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求。（参见第91页）

　　2．推理与证明（约8课时）

　　（1）合情推理与演绎推理

　　①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见选修2-2案例中的例2、例3）。

　　②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

　　③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

　　（2）直接证明与间接证明

　　①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

　　②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

　　（3）数学归纳法

　　了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

　　（4）数学文化

　　①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。

　　②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

　　3．数系的扩充与复数的引入（约4课时）

　　（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

　　（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

　　（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

　　（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

　　说明与建议

　　1．本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。

　　2．在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。

　　3．教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

　　4．教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。

　　5．本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。

　　6．教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，对证明的问题要控制难度。

　　7．在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x³=1的根，介绍代数学基本定理等。

　　参考案例

　　例1 一个物体依照s＝s（t）规律在直线上运动，我们已经知道，其在某一时刻的t₀运动速度v（t₀）（即瞬时速度或瞬时变化率）为s＝s（t）在t₀时刻的导数，即。今考虑s（t）在t＝a到t＝b之间位置的总变化。我们把区间a≤t≤b分割成个小区间，不妨假设小区间的长度相等，其长度为Δt_i。对每一个小区间，我们假设的变化率近似为某一常量，于是我们可以说

Δs≈s(t)的变化率×时间

　　在第一个小区间内，即从t₀到t₁，假设s（t）的变化率近似地为s'（t₀），于是有

　　同样，在第二个小区间，即从₁到₂，假设s（t）的变化率近似地为s'（t₁），因此有

等等。把所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起，得到

　　我们可以把s（t）在t₀＝a到t_n＝b之间位置的总变化写成s（b）－s（a）。另一方面，当分割无限加细，n趋于无空时，和式

的极限就是定积分或，也就是s（t）在t＝a到t＝b之间位置的总变化。于是，我们可得到以下结论：

也就是说，变化率的定积分给出了总的变化。

　　特别地，当物体作匀速运动时，即

当物体作匀加速运动时，即v（t）＝at（其中a是常数）时，v（t）≡v时

　　一般地，如果f（t）是连续函数，并且f（t）＝F'（t），那么

　　这就是微积分基本定理。这里给出的并不是非常严格的证明，但是，它反映了微积分基本定理的基本思想，反映了微分（导数）与积分的联系。

　　选修2-3

　　在本模块中，学生将学习计数原理、统计案例、概率。

　　计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。

　　学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。

　　学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。

　　内容与要求

　　1．计数原理(约14课时)

　　（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理

　　通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。

　　（2）排列与组合

　　通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

　　（3）二项式定理

　　能用计数原理证明二项式定理（参见例1）； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

　　2．统计与概率（约22课时）

　　（1）概率

　　① 在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。

　　② 通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用（参见例2）。

　　③ 在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题（参见例3）。

　　④ 通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题（参见例4）。

　　⑤ 通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

　　（2）统计案例

　　通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。

　　① 通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。

　　② 通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见选修系列1-2案例中的例1）。

　　③ 通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。

　　④ 通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。

　　说明与建议

　　1．分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法。教学中，应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。同时，在这部分教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。

　　2．研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。教学中，应引导学生利用所学知识解决一些实际问题。

　　3．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

　　4．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。

　　5．可以在二项式定理中介绍我国古代数学成就“杨辉三角”，在统计案例中介绍所学统计方法在社会生活中的广泛应用，以丰富学生对数学文化价值的认识。

　　参考案例

　　例1 二项式定理的证明。

　　（a+b）ⁿ是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时，有两种选择，选a或b，由分步计数原理可知展开式共有2ⁿ项（包括同类项），其中每一项都是a^kb^n-k的形式，k=0，1，…，n；对于每一项a^kb^n-k，它是由k个（a+b）选了a，n-k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。

　　例2 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球，摸到

　　4个红球的就中一等奖。求获一等奖的概率。

　　从30个球中摸出5个球的组合数为：C⁵₃₀＝142 506;那么，

　　P（一等奖）＝≈0.029。

　　如果令X表示摸出红球的个数，则X服从N=30，M=5，n=10，m=4的超几何分布，那么

　　P（X＝m）＝。

　　例3 将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现正面），出现正面的概率为1/2。

　　如果令X为硬币正面出现的次数，则X服从n=100，p＝1/2的二项分布，那么P（X＝k）＝。

　　由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面"的概率为P（X＝50）＝≈0．08。

　　学生在学习概率时会有一种误解，认为既然出现正面的概率为1/2，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。

　　例4 据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案。

　　方案1：运走设备，此时需花费3 800元。

　　方案2：建一保护围墙，需花费2 000元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60 000元。

　　方案3：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60 000元，小洪水来临损失10 000元。

　　试比较哪一种方案好。