（一）条件概率

  　　在§1.3的例1中，若从合格品中任取一件，取到一等品的概率是，这是合格品中的一等品率。而该例中的，即是整批产品中的一等品率。

　　定义1.3  在事件已经发生的条件下，事件发生的概率，称为事件在给定下的条件概率，简称为对的条件概率，记作。相应地，把称为无条件概率。这里，只研究作为条件的事件具有正概率的情况。

　　可以验证，条件概率也是一种概率，它有概率的三个基本属性。

　　例1 市场上供应的灯炮中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂的产品，表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。

　　解依题意

进一步可得：

（二）乘法法则

　　乘法法则  两个事件、之交的概率等于其中任一个事件（其概率不为零）的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即

　　　　　　　　　             (1.10)

相应地，关于个事件的乘法公式为

　　　      　　(1.11)

　　例3 求本节例1中从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。

　　解 要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的（事件发生），又是合格的（事件发生）概率，也就是求与同时发生的概率。由（1.10）式，有

　　同样方法还可以计算出从市场买到一个乙厂合格灯泡的概率是0.24。

　　读者可以思考，它为什么不是。读者还可以计算买到的一个灯泡是乙厂生产的废品的概率以及市场上供应的灯泡的合格率。

　　例4  10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。

　　解 设事件、、分别表示甲、乙、丙各抽到难签。由公式(1.1)(1.10)及(1.11)，有

　　读者计算乙抽到难签的概率以及丙抽到难签的概率。

(三)全概率定理与贝叶斯定理

　　例5 计算本节例1中市场上灯泡的合格率。

　　解 由于,并且与互不相容，由（1、2）及（1.10）式，有：

　　定理1.1(全概率定理)　如果事件构成一个完备事件组，并且都具有正概率，则对任何一个事件，有

    　　　　　　　　　　　                (1.12)

　　证 由于两两互不相容，因此，也两两互不相容。而且

由加法法则有

再利用乘法法则，得到

　　例6  12 个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。

　　解  设事件分别表示第一、二、三次比赛时取到个新球。显然，，，并且构成一个完备事件组，由（1.1）式有

　　定理1.2(贝叶斯定理)  若构成一个完备事件组，并且它们都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件，有

　　证  由（1.9）式，有

再利用公式（1.10）及（1.12）有，

这个定理又称贝叶斯公式。

　　例7 假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%、35%、20%。如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由甲车间生产的概率。

　　解 设事件表示“产品为次品”，分别表示“产品为甲、乙、丙车间生产的”。显然，构成一个完备事件组。依题意，有

由（1.13）式，有