在本模块中，学生将学习解三角形、数列、不等式。

　　学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

　　数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

　　不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

　　内容与要求

　　1．解三角形（约8课时）

　　（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

　　（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

　　2．数列（约12课时）

　　（1）数列的概念和简单表示法

　　通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。

　　（2）等差数列、等比数列

　　①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。

　　②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。

　　③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题（参见例1）。

　　④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

　　3．不等式（约16课时）

　　（1）不等关系

　　通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

　　（2）一元二次不等式

　　①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

　　②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

　　③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

　　（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题

　　①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

　　②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组（参见例2）。

　　③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（参见例3）。

　　（4）基本不等式：

　　①探索并了解基本不等式的证明过程。

　　②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题（参见例4）。

　　说明与建议

　　1．解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。

　　2．等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

　　3．在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和复杂程度。

　　4．一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

　　5．不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。

　　6．线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。

　　参考案例

　　例1 教育储蓄的收益与比较

　　要求学生收集本地区有关教育储蓄的信息，思考以下问题。

　　（1）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少元？

　　（2）依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少元？

　　（3）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？

　　（4）欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？

　　（5）欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元？

　　（6）依教育储蓄的方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？

　　（7）依教育储蓄的方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？

　　（8）开放题：不用教育储蓄的方式, 而用其他的储蓄形式, 以每月可存100元, 6年后使用为例, 探讨以现行的利率标准可能的最大收益, 将得到的结果与教育储蓄比较。

　　例2 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨，产生的利润为5 000元。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请列出条件的数学关系式，并画出其图象。

　　解：设x，y分别为计划生甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是 

　　解：

　　例3 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元。甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500。如何安排生产可使收入最大？

　　解：这个问题的数学模型是二元线性规划。

　　设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是，目标函数是f＝3x＋2y。

　　要求出适当的x，y，使f＝3x＋2y取得最大值。

　　先要画出可行域，如图。考虑3x＋2y=2a，a是参数，将它变形为，这是斜率为－3/2，随a变化的一族直线。a/2是直线在y轴上截距，当a/2最大时a最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值。

　　在这个问题中，使3x＋2y取得最大值的（x，y）是两直线2x＋y＝500与x＋2y＝400的交点（200，100）。

　　因此，甲、乙两种产品的每月产时不时分别为200、100件时，可得最大收入800千元。

　　例4 某工厂建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深度为3 m。如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？